REPARTO PROPORCIONAL

En un reparto proporcional hay que repartir una cantidad proporcionalmente a otras, este reparto puede ser directo, si a una cantidad mayor corresponde otra mayor o inverso, si a una cantidad mayor le corresponde una menor,para esto hay dos tipos de reparto proporcional:

Reparto proporcional directo

A una mayor cantidad corresponde mayor proporción

Tres socios, Antonio, José y Ana pusieron para crear una empresa 5000, 8000 y 10000 pesos respectivamente. Tras un tiempo la empresa tiene 2300 pesos de beneficios. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno?

Es claro que los beneficios se tienen que repartir proporcionalmente a la cantidad que se aporta y a mayor aportación más beneficios, luego el reparto proporcional es directo.

LLamemos x, y, z a los beneficios de Antonio, José y Ana. Establecemos la proporción entre el beneficio y la aportación 

Por tanto Antonio recibirá 500 pesos, José recibirá 800 pesos  y Ana 1000 pesos.

Reparto proporcional inverso 

A una mayor cantidad corresponde menor proporción

Un padre quiere repartir 15000 pesos entre sus hijos de 3, 10 y 15 años. Desea entregar a cada hijo una cantidad que sea inversamente proporcional a su edad. ¿Qué cantidad corresponderá a cada hijo?

LLamemos x, y, z a las cantidades que lo corresponde a los hijos de 3, 10 y 15 años respectivamente

 

 

Por tanto al niño de 3 años le corresponden 10.000 pesos, al de 10 años 3.000 pesos y al de 15 2000 pesos

Ejemplo

Un abuelo decide repartir 6.000 pesos entre sus tres nietos, pero en vez de darles un tercio a cada uno prefiere hacerlo de forma proporcional a la edad de cada nieto, que tienen 7,12 y 21 años. ¿Cuánto recibirá cada uno de ellos?

Para encarar este tipo de problemas habrá que asignar una incógnita a cada uno de las partes, de modo que:

La cantidad que le corresponde al nieto de 7 años se denominará x, la del nieto de 12 años será y, y la del de 21 años será z.

Como el abuelo ha decidido, por la razón que sea, repartir el dinero en función de la edad, al nieto más joven le tocarán x7partes del total, al mediano y12 partes y al mayor z21 partes. La relación se puede esquematizar del siguiente modo:

x7=y12=z21

Donde x,y,z, representan la cantidad que recibirá cada nieto, cuya suma será la cantidad total a repartir, es decir, los 6.000€.

En este punto hay que citar otra propiedad importante de las proporciones, y es que:

ab=cd=a+cb+d

Es decir, en una proporción, al sumar los numeradores y los denominadores de las fracciones que la integran se obtiene una nueva fracción que es proporcional a cualquiera de las implicadas.

Ejemplo

Aplicando esta regla al ejemplo se tendrá que:

x7=y12=z21=x+y+z7+12+21=C40

Ya que la cantidad total repartida, C=6000 pesos , debe ser la suma de lo que se asigna a cada nieto x+y+z. Como la nueva fracción obtenida es igual a cualquiera de las demás, se puede igualar con cada incógnita, lo que permitirá hallar su valor:

El nieto más joven recibirá:

x7=C40⇒x7=600040⇒40x=7⋅6000⇒40x=42.000

⇒x=42.00040=1050 pesos

Al nieto mediano le tocarán:

y12=C40⇒y12=600040⇒40y=12⋅6000⇒40y=72.000

⇒y=72.00040=1800 pesos

Finalmente, al nieto mayor le corresponden:

z21=C40⇒z21=600040⇒40z=21⋅6000⇒40z=126.000

⇒z=126.00040=3150 pesos

Si la operación se ha hecho bien, la suma de las cantidades repartidas ha de ser igual al total:

1050+1800+3150=6000 pesos.

El ejemplo anterior es un caso claro de reparto directamente proporcional, puesto que los nietos con más edad reciben más dinero y viceversa. Pero:

¿Qué ocurriría si el abuelo decidiese repartir el dinero de forma inversamente proporcional a la edad de los nietos?

Pues que cuanta más edad menos dinero recibirán y viceversa, por lo que es necesario elaborar una relación que siga esta premisa.

Si se mantienen las incógnitas para cada nieto, al más joven le tocará una cantidad inversamente proporcional a su edad, de modo que si en el reparto directo le tocaban x7 ahora le tocarán x17 o, lo que es lo mismo, 7x:

Reparto directamente proporcional:x7

Reparto inversamente proporcional:x17

Es decir, para expresar el reparto inverso hay que invertir el denominador de la fracción correspondiente a cada nieto, de modo que:

x17=y112=z121

Ahora, para hallar la fracción comparable a éstas habrá que sumar los numeradores y los denominadores:

x17=y112=z121=C17+112+121

Si se opera el denominador que contiene la suma de fracciones se obtiene que:

17+112+121=12+7+484=2384

De modo que la relación del reparto quedará:

x17=y112=z121=C2384

O lo que es lo mismo:

7x=12y=21z=84⋅C23

En este punto ya se pueden realizar los repartos correspondientes a cada nieto.

Al más joven le tocará

7x=84C23⇒x=84⋅600023⋅7=504.000161=3130,43 pesos

El mediano recibirá

12y=84C23⇒y=84⋅600023⋅12=504.000276=1826,09 pesos

Y al mayor le corresponderán

21z=84C23⇒z=84⋅600023⋅21=504.000483=1043,48 pesos

Se puede comprobar que todo sea correcto sumando las cantidades para ver si suman los 6000 € a repartir:

3130,43+1826,09+1043,48=6000 pesos.

En los problemas de repartos proporcionales es habitual que la cantidad total a repartir sea desconocida, pero en estos casos se dan pistas para averiguarla.

Ejemplo

Antonio, Alba y Alberto son tres camareros que siempre se reparten las propinas del mes en función de las horas diarias que trabaja cada uno. Antonio trabaja 8 horas al día y este mes le han correspondido 124 pesos. Si Alba trabaja 6 horas al día y Alberto 4 horas al día, ¿cuánto les corresponde a ellos? ¿A cuánto han ascendido las propinas este mes?

Lo primero que hay que observar es que se trata de un reparto directamente proporcional. Lo segundo es darse cuenta que a partir del dato de lo que recibe Antonio se puede conocer todo lo demás.

Si se denomina x a la parte que le corresponde a Antonio, y a la de Alba y z a la de Alberto, el esquema del reparto será:

x8=y6=z4

Pero, de hecho, el valor de x es conocido, puesto que el enunciado dice que se lleva 124 €, así que igualar dicha fracción con cada una de las otras dos permitirá saber los datos que faltan.

A Alba le corresponderán:

x8=y6⇒1248=y6⇒8y=124⋅6⇒

8y=744⇒y=7448=93 pesos

Mientras que a Alberto le corresponden:

x8=z4⇒1248=z4⇒8z=124⋅4⇒

8z=496⇒z=4968=62 pesos

Ahora, para saber a cuánto ascendía el total de propinas la opción más rápida consiste en sumar directamente las cantidades que se lleva cada camarero:

124+93+62=279 pesos